INTEGRAL CALCUS

hallo squad…

kesempatan kali ini kita akan membahas tentang integral, pastinya kalian sudah dapat materi ini sejak sma kan ? nah, kali ini kita akan mempelajari lebih dalam tentang materi integral calcus.

point yang akan kita bahas yaitu :

A. Apa itu integral ?

B. Aturan – aturan dasar integral

simak ya baik-baik squad..

A.Pengertian integral

integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara kesinambungan dalam matematika,dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, dan adalah satu dari dua operasi utama dalam calcus.

Integral calcus atau integration vs differentiation

♦ Integral calcus atau integration adalah kebalikan dari differentiation.

√ Apabila fungsi F (x ) merupakan an integral ( anti derivative ) funtion dari f (x),

maka: F (x) ddisebut sebagai primitive function, sedangkan f (x) merupakan derivative dari F(x)

√ Jadi integral mencari fungsi asal ( tracing the parentage of ) dari fungsi f(x).

√ Tetapi differentiation mencari turunan (derivative ) dari F(x)

Notasi integral:

${\color{DarkRed} \int }{\color{DarkRed} f(x)dx}$

√ f(x) adalah fungsi yang akan diintegralkan.

√ dx tanda untuk melakukan diferensiasi terhadap x

√ sebagai notasi diferensiasi dari the primitive function.

$\int f(x)dx$ sebagai notasi diferensiasi dari the primitive funtion

$\frac{d}{dx}\; F(x)\: =\int f(x)dx$

dimana ⇓

$\int f(x)dx=F(x)+c$

dimana c adalah suatu angka yang bersifat bebas atau angka apa saja yang berfungsi sebagai indikasi banyaknya fungsi primitif yang bisa dihasilkan ( the multiple parentage of the integrand ).

B. Aturan integrasi

Aturan dasar (Basic Rules of integration)

1. Rule 1 ( The power rule )

$\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}X^{n+1}+c$

$karena\; \frac{d}{dx}\left ( \frac{1}{n+1} X^{n+1}\right )=x^{n}$

$dimana \; n\neq -1$

contoh soal :

2. Rule 2 (The exponential rule )

$\int e^{x}dx=e^{x}+c\; karena\; \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}$

$Rule\; 2b\; :\int f'(x)e^{f(x)}dx=\; e^{f(x)}+c\; karena\; \frac{d}{dx}e^{f(x)}=e^{f(x)}$

3. Rule 3 ( The logarithmic rule)

$Rule\; 3a:\int \frac{1}{x}dx=Inx+c\; karena\; \frac{d}{dx}Inx=\frac{1}{x}\; dimana\; x> 0$

Rule ini bentuk spesial (a special form) dari the power function $X^{n}$ karena untuk n=1 tidak bisa dilakukan atas dasar rule 1 ( the power rule ) sebab menjadi

$\frac{1}{0}=\infty$

$Rule\; 2b:\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=In\; f(x)+c\; dimana\; f(x)> 0$

$=In\left | f(x) \right |x+c\; dimana\; f(x)\neq 0$

Rule 4 dan Rule 5 : Aturan operasi ( rules of operation )

4.Rule 4 ( The integral of a sum )

$\int \left [ f(x)+g(x) \right ]dx=\int f(x)dx\; +\; \int g(x)dx$

$=F(x)+G(x)+c$

atau

$(F(x)+c_{1})+(G(x)+c_{2})$

dimana $c,\; c_{1}\; dan\; c_{2}$ adalah arbitrary in value, jadi bisa ditulis

$c=\; c_{1}+c_{2}$

$\frac{d}{dx}\left [ F(x) +G(x)\right ]=\frac{d}{dx}F(x)+\frac{d}{dx}G(x)$

$=f(x)+g(x)$

5. Rule 5 ( The integral of a multiple )

$\int k\; f(x)dx=\; k\int f(x)dx$

RULE 6 DAN 7 : Aturan untuk subtitusi ( Rules involving substitution )

6. Rule 6 ( The substitution rule )

$\int f(u)\frac{du}{dx}dx=\int f(u)du$

7. Rule 7 ( Integration by parts )

$\int u\; du=\; uv-\int u\; du$

$karena\; d(uv)=\; vdu+u\; dv\rightarrow di\; integrate\; menjadi$

$\int d(uv)=\int v\; du+\int u\; dv\; atau\; uv=$

$=\int v\; du+\int u\; du\rightarrow \; kiri\; &\; kanan\; dikurangi$ $dengan\; \int u\; dv\rightarrow menjadi\; \int v\; du=uv-\int u\; dv$

8. Rule 8 ( Trigonometric rules )

$a.\int \sin x\; dx=-\cos \; x\; +\; c$

$b.\int \cos \zeta \; x\; dx=\; \sin \; x\; +\; C$

$D.\int \sec ^{2}x\; dx=tg\; x\; +\; C$

$e.\int \cos \; ec^{2}x\; dx=-ctg\; x\; +\; C$

terimakasih

“Quotes “

“Orang sukses akan mengambil kesulitan sebagai peluang,

orang gagal memandang kesulitan sebagai penghambat dirinya”

Matriks Lanjutan 3

hola squad..

masih penasarankan matriks itu seperti apa ? Nah, pas banget materi kali ini masih membahas tentang matriks ya squad…lebih tepatnya matriks lanjutan ( persamaan stimultan ).

jangan lupa siapin minuman hangat yah squad. Biar makin mantulkan belajarnya… pas bangetkan musim hujan gini. hihihi

Simak baik-baik yah squad!!

Persamaan Simultan

A. Pengertian

persamaan simultan adalah kumpulan dari beberapa persamaan linear yang terdiri dari satu, dua, atau tiga variable bebas.
Untuk persamaan linear yang terdiri dari satu variable, misalnya 4x+5=9, maka dengan mudah bisa diselesaikan persamaan tersebut dengan memindahkan variable ke ruas yang berbeda.
ciri persmaan variable adalah apabila variable x sebagai variable bebas berpangkat satu maka maka disebut sebagai persaman linear
contoh 4x + 5 = 9 → 4x = 4→x = 1

♦ Sistem Persamaan linier 2 variable ♦

Bentuk Umum :

ax +by = p………………………….. (1)

cx + dy = q………………………….. (2)

Bentuk Matriks :

Persamaan (1) dan (2) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah ini.

⇓ ⇓ ⇓

A x = b

Dimana A adalah matriks koefisien, x adalah matrik variable dan b adalah matrik solusi

Tujuan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan itu.Untuk menyelesaikan persamaan linear ada 2 metoda yaitu metoda Invers dan metoda cramer

1.Metode Invers

bentuk ax= b dapat dirumuskan sebagai berikut

$\begin{bmatrix} X\\ Y\end{bmatrix}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d &-b \\ -c & a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p\\ q\end{bmatrix}$

2.Metode Cramer

Diketahui sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut.

ax + by = c

px + qy = r

dapat diubah kedalam bentuk matriks sebagai berikut :

$\begin{bmatrix} a &b \\ p & q \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c\\ r\end{bmatrix}$

Menyelesaikanpersamaan linear dengan menggunakan metode penghitungan determinan.

$x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{\begin{bmatrix} c & b\\ r & q \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} a &b \\ p & q \end{bmatrix}}\; y=\frac{Dy}{D}=\frac{\begin{bmatrix} a & c\\ p& r \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} a & b\\ p & q \end{bmatrix}}$

♦Sistem Persamaan Linear 3 Variable♦

BPersamaan simultan yang terdiri dari 3 variabel juga dapat diselesaikan dengan cara yang sama yaitu metode invers dan metode cramer. Dibawah ini akan dijelaskan untuk masing –masing metode.

1.Metode Invers Matriks

Diberikan persamaan linear sebagai berikut

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁+ a₂₂ x₂ + … + a_2n x_n = b₂

….………………………………

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + … + a_mn x_n = b_n

Persamaan linear diatas dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

Penyelesaian persamaan simultan diatas diatas dapat dilakukan dengan menentukan balikan dari A, sedemikian sehingga diperoleh :

AX = B A^-1AX = A^-1B X = A^-1B

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}&... &a_{2n} \\ ...& ... & ... & ..\\ a_{m1}& a_{m2} &... & a_{mm} \end{bmatrix}\; disebut\; matriks\; koefisien$

contoh soal

2.Metode Cremer

Metode Cramer merupakan suatu metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear melalui pemakaian determinan.

$X_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$

Contoh soal

gimana? udah makin pahamkan dengan matriks…

semoga materi yang saya bagikan kali ini bermanfaat yah squad..

see you next post ..

thank you

MATRIKS ( Lanjutan II )

Holla squad

blog kali ini masih membahas tentang matriks yah.. yaitu matriks lanjutan 2 ..

simak baik-baik ya squad..

A.Determinan

√ pengertian determinan.

Apa itu determinan matriks ?
Determinan matriks merupkan salah satu persyaratan yang harus dipenuhi dalam mencari invers suatu matriks. Dalam matriks, cara mencari determinan berbeda untuk setiap ordonya .

saya akan membahas mengenai cara menentukan determinan matriks ordo 3×3.

DETERMINAN MATRIKS ORDO 3X3

Untuk matriks yang berorodo lebih tinggi (matriks 3 x 3) terdapat dua metode untuk mencari nilai determinan matriks yang berordo 3×3, yakni sebagai berikut :

a). Metode Sarrus

metode sarrus adalah perhitungan determinan dengan kita menambahkan dua kolom.

rumus :

Determinan-Matriks-Ordo-3 (1)

pembahasan :

√ hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan diagonal lainnya yang sejajar,kemudian nyatakan jumlah tersebut dengan D1

√ Hitung jumlah hasil kali elemen elemen pada diagonal sekunder dengan diagonal laiinya yang sejajar,kemudian nyatakan jumlah tersebut dengan D2

√ Determinan dari matriks A adalah pengurangan antara D1 dengan D2, maka det (A)= D1-D2

berdasarkan metode kofaktor untuk baris pertama dari matriks :
$jika,\; A\; =\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23}\\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

maka det (A) :

det (A) : determinan matriks

CTH SARUS-1

contoh :

b). Minor dan Kofaktor

Minor
matriks minor Mij diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j, matriks A berorod 3×3. Sehingga didapatkan matriks baru berorodo 2×2,dimana determinan dari matriks tersebut disebut minor dari determinan matriks A, ditulis dengan $\left | M_{ij} \right |$
minor-minor dari matriks A adalah sebagai berikut :

$\left | M_{11} \right |=\begin{bmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32}& a_{33} \end{bmatrix},\; \left | M_{12} \right |\begin{bmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31}& a_{33} \end{bmatrix},dan\left | M13 \right |=\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31}& a_{32} \end{bmatrix}$

Dimana $\left | M_{11} \right |$ adalah minor dari $a_{11}$

$\left | M_{12} \right |$ adalah minor dari $a_{12}$

$\left | M_{13} \right |$ adalah minor dari $a_{13}$ dan seterusnya

Kofaktor

Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke- j dituliskan dengan Aij.

Apabila suatu minor diberi tambahan tanda $(-1)^{i+j}$ maka disebut kofaktor $\left | C_{ij} \right |$

sehingga, : $\left | C_{ij} \right |=(-1)^{i+j}\left | M_{ij} \right |$ jika jimlah i+j genap maka $\left | C_{ij} \right =\left | M_{ij} \right |$ karena (-1) dipangkatakan dgn bilaangan genap akan sama dgn 1

sedangkan jika jumlah i + j adalah ganjil maka $\left | C_{ij} \right =\left- | M_{ij} \right |$ karena jika (-1) dipangkatankan dgn bilangan negatif maka hasilnya akan sama dgn (-1).

contoh :

√ AdjoinSecara umum, sebuah matriks memiliki matriks adjoin ditunjukkan seperti pada matriks di bawah

Adj(A) : adjoin matriks (A)

. Matriks-Adjoin-A

Keterangan: $C_{ij}$ adalah kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j.

Sehingga, adjoin dari matriks A dinyatakan seperti terlihat pada persamaan di bawah.

$Adj (A)=\begin{bmatrix} C_{11}& C_{12} &C_{13} \\ C_{21} & C_{22} &C_{23} \\ C_{31} & C_{32}& C_{33} \end{bmatrix}$

Contoh :

B. Matriks invers

mencari matriks dengan Matriks Adjoint

Invers Matriks (Matriks balikan ) .. hanya dapat ditemukan pada suatu matriks buju sangkar, dan non singular. Dimana harus memenuhi suatu hubungan sebagai berikut :

notasi :

invers matriks (A) : $A^{-1}$

indeks : I

maka, $AA^{-1}=I=A^{-1}A$

Dimana rumus untuk memperoleh matriks adalah :

$A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}AdjA$

Dengan substitusi nilai determinan matriks dan adjoin matriks maka akan diperoleh invers matriknya.

CONTOH :

2. Mencari invers dengan transformasi Elementer :

misalnya ada suatu matriks, matriks A, dengan rank r, dengan transformasi elementer dapat diubah bentuknya menjadi matriks yang disebut matriks normal.

$A=\begin{bmatrix} 3& 1 &2 \\ 2& 0 &1 \\ 5& 1 & 3\\ -1& -1 & -1 \end{bmatrix}$

Untuk mengubah matriks A menjadi matriks normal maka diusahakan mengubah elemen dibawah diagonal $a_{11},\; a_{22},\; a_{33}$ menjadi nol dengan transformasi elemen baris. Dilanjutkan dengan transformasi kolom agar elemen-elemen diatas diagonal tersebut menjadi nol.

CONTOH

sekian pembahasan tentang matriks lanjutan ..

semoga bermanfaat ya squad. terimakasih

Lanjutan Matriks

holla squad…

blog saya sebelumnya sudah mebahas tentang matriks sekarang kita akan mempelajari matriks lebih jauh lagi, yaitu kita akan membahas tentang matriks lanjutan ya..

simak ya materinya baik baik yah squad

A. Transformasi Elementer

Transformasi Elementer adalah pemberlakuan transformasi pada baris dan kolom

Transformasi Elementer pada baris dan kolom matriks

Terhadap elemen-elemen suatu matriks dapat dilakukan transformasi atau penukaran atau perpindahan menurut baris dan kolom matriks.

operasi transformasi elementer :

Apabila matriks A = (a_ij), maka transformasi elemen-elemen pada baris ke-i dengan baris ke-j ditulis H_ij (A), yang merupakan penukaran semua elemen baris ke-i dengan baris ke-j atau baris ke-j dijadikan baris ke-i

Contoh :

: $A =\; \begin{bmatrix} 3 & 1 &4 \\ 2&1 &1 \\ 3 &0 & 1 \end{bmatrix}\; Maka\; H_{12}(A)=\; \begin{bmatrix} 2 & 1 &1 \\ 3 & 1 & 4\\ 3& 0 & 1 \end{bmatrix}$
$H_{23}(A)=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 4\\ 3 & 0 & 1\\ 2& 1 & 1 \end{bmatrix}$

Transformasi elemen-elemen pada kolom ke-i dengan kolom ke-j, ditulis K_ij (A), adalah penukaran semua elemen kolom ke-i dengan kolom ke-j atau kolom ke-i dijadikan kolom ke-j.

Contoh :
$A=\; \begin{bmatrix} 3 & 1 & 4\\ 2 & 1& 1\\ 3& 0 & 1 \end{bmatrix}\; {\color{DarkBlue} maka,}\; K_{13}(A)=\begin{bmatrix} 4 & 1 &3 \\ 1 & 1 & 2\\ 1& 0 & 3 \end{bmatrix}$

${\color{DarkBlue} Dan}\; K_{21}(A)=\begin{bmatrix} 1 &3 & 4\\ 1 &2 & 1\\ 0& 3 & 1 \end{bmatrix}$

Mengalikan baris ke-i dengan $\lambda (\lambda \neq 0)$ , dituliS $H_{i}^{(\lambda )}(A)$ dan mengalikan kolom ke-i dengan $\lambda$ ditulis $K_{i}^{(\lambda )}(A)$

Contoh :
$Hi+\lambda +Hj$
$A=\begin{bmatrix} 3 & 1 &4 \\ 2 & 1 &1 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}\; Maka\; H_{2}^{(-2)}(A)=\begin{bmatrix} 3 & 1&4 \\ -4& -2 & -2\\ 3& 0 & 1 \end{bmatrix}\;$

$Dan\; H_{3}^{(\frac{1}{2})}\; (A)=\begin{bmatrix} 3 &1 & 4\\ \frac{2}{3} &1 &1 \\ \frac{3}{2}&0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
$Sedangkan\; K_{3}^{(2)}(A)=\begin{bmatrix} 3 &1 &8 \\ 2&1 &2 \\ 3&0 & 2 \end{bmatrix}\; dan\; K_{1}^{(-1)}(A)=\begin{bmatrix} -3 & 1 &4 \\ -2& 1 & 1\\ -3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Menambah baris ke-i dengan $\lambda$ kali baris ke-j, ditulis $H_{ij}^{(\lambda )}(A).\; Hi+\lambda Hj$

Contoh :
$A=\begin{bmatrix} 3 &1 &4 \\ 2 &1 & 1\\ 3 &0 & 1 \end{bmatrix},\; {\color{DarkRed} maka}\; H_{31}^{(1)}(A)=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 4\\ 2 & 1 & 1\\ 6 &1 & 5 \end{bmatrix}$
${\color{DarkRed} \mathbf{Dan}}\; \; H_{23}^{(-1)}(A)=\begin{bmatrix} 3 &1 &4 \\ -1 &1 &0 \\ 3& 0 & 1 \end{bmatrix}$

$H_{31}^{(1)}(A)=\; H_{3}+1.H_{1}\begin{bmatrix} 3 &+ & 3\\ 0& + & 1\\ 1& + & 4 \end{bmatrix}\; =\begin{bmatrix} 6\\ 1\\ 5\end{bmatrix} \; terletak \; di baris\; ke-3$
$untuk \; H_{23}^{(-1)}(A)=\mathbf{{\color{DarkRed} }H_{2}-H_{3}}=\begin{bmatrix} 2 &- &4 \\ 1& - & 1\\ 1 & - & 5 \end{bmatrix}\; =\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 0\end{bmatrix}$

Menambah kolom ke-i dengan $\lambda$ kali kolom ke-j ditulis $k_{ij}^{(\lambda )}(A)$ .

Contoh:
$A=\begin{bmatrix} 3 & 1 &4 \\ 2& 1 & 1\\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix},\; \mathbf{\color{DarkRed} {maka}}\; K_{23}^{(-2)}(A)=\begin{bmatrix} 3 & -7 &4 \\ 2 & -1 & 1\\ 3& -2 & 1 \end{bmatrix}$
$k_{21}^{(2)}(A)=\; \begin{bmatrix} 3 & 7 &4 \\ 2 & 5 & 1\\ 3 & 6 & 1 \end{bmatrix}$

penjelasan :

$\mathbf{{\color{DarkRed} }Untuk\; K_{23}^{(-2)}(A)=}$
$K_{2}-2\; K_{3}=\begin{bmatrix} 1 & - & 2 & . & 4\\ 1& - & 2 & . & 1\\ 0 & - & 2 & . & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -7\\ -1\\ -2\end{bmatrix}$
$\mathbf{{\color{DarkRed} }Untuk\; K_{21}^{(2)}(A)=}$
$K_{2}+2K_{1}=\begin{bmatrix} 1 & + &2 & . &3 \\ 1 &+ & 2 & . & 2\\ 0 & + & 2 & . &3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7\\ 5\\ 6\end{bmatrix}$

Bila diketahui B adalah matriks transformasi elementer dari A maka matriks A dicari dengan mengambil invers dari matriks B.

Contoh :
$B=\; H_{31}^{(1)}(A)=\; \begin{bmatrix} 2 & 1& 0\\ 4 & 11 &2 \\ 1 & 0& 1 \end{bmatrix},\; \mathbf{{\color{DarkRed} Maka}}\; \; A\; =\begin{bmatrix} 2 & 1 &0 \\ 4& 11 &2 \\ -1& -1 & 1 \end{bmatrix}$
$H_{31}^{(1)-1}(B)=H_{31}^{(-1)}(B)=H_{3}-H_{1}$

sehingga :
$H_{3}-H_{1}=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1\\ -1\\ 1\end{bmatrix}$
2. Matriks Ekivalen.

Dua matriks A dan B disebut ekivalen, ditulis ( A ~ B ), apabila matriks A diperoleh dari matriks B dan matriks B diperoleh dari matriks A dengan transformasi elementer terhadap bari dan kolom.
Jika transformasi elementer hanya terjadi pada beris saja disebut EKUIVALEN BARIS.
jika transformasi terjadi pada kolom saja disebut EKUIVALEN KOLOM.

contoh :
$A=\begin{bmatrix} 2 &3 & 1\\ 4& 1 & \end{bmatrix}\mathbf{{\color{DarkRed} dan \; }}\; B\; =\begin{bmatrix} 4 &1 & 0\\ 2 &3 & 1 \end{bmatrix}$
$Adalah \; ekivalen\; sebab\; B=\; H_{12}(A)$

maka dapat dikatakan A dan B ekuivalen baris karena jika kita mempertukarkan baris ke-1 dengan baris ke-2 matriks A atau $H_{12}(A)$ maka akan didapat matriks B.
CONTOH: DIK

1.⇓

$A=\; \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1\\ 4 & 3 & 2\\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}\; Dan\; B=\begin{bmatrix} 2 &5 &3 \\ 4 &3 &2 \\ 3&1 &1 \end{bmatrix}$

2.⇓
. $A=\; \begin{bmatrix} 1& 5 & 1\\ 1 & 3 & 2\\ 4 & 1 & 1 \end{bmatrix}\; Dan\; B=\begin{bmatrix} 1 & 5 & 1\\ 1 & 0 &1 \\ 4 & 1 &1 \end{bmatrix}$

Jawab :

Matriks A dan B ekuivalen karena terjadi pertukaran baris
Matriks A dan B bukan matriks ekuivalen karena tidak ada pertukaran baris .

3. Rank Matriks

Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A.
Rank kolom dari matriks A adalah dimensi dari ruang kolom matriks A.
Bila rank baris = rank kolom maka rank matriks A yaitu r (A) adalah harga atau nilai dari rank baris/ rank kolom matriks A tersebut.

Catatan :

√ rank dari matriks menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris/kolom yang bebas linear.

√ Untuk mencari rank matriks dapat dilakukan dengan transformasi elementer, yaitu dengan cara sebanyak mungkin mengubah baris kolom menjadi vektor nol (karena vektor nol adalah bergantung linier)

contoh :

tentukan rank dari matriks dibawah ini :
$A=\begin{bmatrix} 2 &3 & 1\\ 2 &1 &1 \\ 4& 4 & 3 \end{bmatrix}$
Lakukan transformasi elementer baris :
$H_{12}^{(-2)}\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 2\\ 4 & 4 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1\\ -2& -5&0 \\ 4& 4 & 3 \end{bmatrix}$
$H_{31}^{(-3)}\begin{bmatrix} 2 &3 & 1\\ -2 & -5 &0 \\ 4& 4 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1\\ -2& -5 &0 \\ -2 & -5 & 0 \end{bmatrix}$
$H_{32}^{(-1)}\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1\\ -2 & -5 & 0\\ -2 & -5 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1\\ -2 &-5 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
Baris ke 3 adalah vector nol, rank (A)=2

Petunjuk menentukan rank matriks :

Bila matriks hanya mempunyai dua baris, maka cukup diperiksa apakah elemen-elemen pada baris ke-1 dan baris ke-2 saling berkelipatan.

contoh :
$\mathbf{{\color{DarkRed} jika\; A=}}\begin{bmatrix} 4 & 3 & 1&2 \\ 2 & 1& 1 & 1 \end{bmatrix},\; Baris\; -1\; tidak\; berkelipatan.\; Rank\; (A)=2$
$\mathbf{{\color{DarkRed} Jika\; A=}}\begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 &4 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix},Baris\; -1\; dan\; baris-2\; berkelipatan,Rank(A)=1$
2. Secara umum :

Pilih baris / kolom yang bukan vektor nol, dan pilih elemen pada baris/kolom tersebut yang tidak sama dengan nol sebagai elemen pivot. Pada contoh transformasi baris a₁₃ =1 (¹ 0), kemudian pilih baris yang mengandung elemen 1 atau –1 sebagai elemen pivot.
Jadikan nol semua elemen yang sekolom dengan elemen pivot melalui transformasi baris oleh elemen pivot tersebut. Pada contoh diatas a₂₃, a₃₃ dan a₄₃ dijadikan nol.
Selanjutnya tidak perlu lagi memeperhatikan baris pivot diatas. Perhatikan baris-baris yang tinggal. Pada contoh diatas adalah baris. Kerjakan langkah (1) terhadap mereka. Pada contoh diatas pilih baris 4 dengan elemen pivot a₄₁=1. Seterusnya kembali lagi pada langkah a dan b.
Proses ini akan berakhir bila langkah a tidak dapat dikerjakan lagi, yaitu bila telah menjadi baris nol.

B. DETERMINAN

Pengertian determinan :

Determinan merupakan sebuah bilangan tunggal atau scalar, dan hanya dijumpai dalam matriks bujur sangkar. Jika determinan suatu matriks bujur sangkar adalah nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks singular. Dan jika determinan matriks tersebut bukan nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks non singular. Matriks non-singular, secara linear tidak tergantung (saling independent)

~DETERMINAN MATRIKS ORDO 2X2~

Jika diberikan matriks ordo 2 dinyatakan seperti bentuk dibawah ini:
$A=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$
Maka determinan untuk matrik A adalah
$\left | A \right |=\begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix}=\; ad-bc$
contoh soal :
Tentukan nilai determinan matriks
$A=\begin{bmatrix} 2 &4 \\ 6& 7 \end{bmatrix}$
Pembahasan :
$\left | A \right |=2.7-4.6=14-24=-10$

DETERMINAN MATRIKS ORDO 3X3

Untuk matriks yang berorodo lebih tinggi (matriks 3 x 3), cara untuk mendapatkan determinanny adalah dgn cara :

a. Metode Sarrus

CTH SARUS-1

b. Minor dan Kofaktor

Dapat dibentuk sub determinan dari matriks yang disebut sebagai minor. Sehingga Minor $\left | M_{ij} \right |$ adalah determinan dari submatriks yang dibentuk dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks tersebut :

- Dimana $\left | M_{11} \right |$ adalah minor dari $a_{11};\left | M_{12} \right |$
- $a_{11};\left | M_{12} \right |$ adalah minor dari

$a_{12}$

$\left | M_{13} \right |$ adalah minor darI $a_{13}$ dan seterusnya

~Apabila suatu minor diberi tambahan tanda $(-1)^{i+j}$ maka disebut kofaktor $\left | C_{ij} \right |$

~ sedangkan jika jumlah i + j adalah ganjil maka $\left | C_{ij} \right =\left- | M_{ij} \right |$ karena jika (-1) dipangkatankan dgn bilangan negatif maka hasilnya akan sama dgn (-1).

Sifat-sifat Determinan

Sifat-sifat determinan ada enam, yaitu :

Determinan suatu matriks sama dengan determinan dari transposenya, det (A) = det (A^t).
Penambahan atau pengurangan suatu kelipatan bukan nol dari suatu baris/kolom dari baris/kolom lainnya tidak akan mempunyai pengaruh pada determinan.
Penukaran tempat antara dua baris atau kolom sembarang dari suatu matriks akan merubah tanda, tetapi tidak merubah harga absolut dari determinan
Determinan dari suatu matriks segitiga (triangular matriks), yaitu matriks dengan elemen-elemen nol diatas atau di bawah diagonal utama, adalah sama dengan hasil kali dari elemen-elemen dari diagonal utama.
Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, determinan adalah nol.
Jika dua baris atau kolom identik, atau proporsional, yaitu secara linear tergantung, maka determinan adalah nol.

Ekspansi Laplace

Metode atau ekspansi Laplace adalah suatu cara untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor.
Determinan dari suatu matriks = jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

ekspansi Laplace dapat ditulis dgn cara :

${\color{DarkRed} \left | A \right |=a_{11}\left | C_{11} \right |+a_{12}\left |C_{12} \right |+a_{13}\left |C_{13} \right |}$

menggunakan baris 1 dengan pola yang sama dapat juga dihitung dengan menggunakan baris ke dua dan ketiga, dengan memberikan hasil determinan yang sama.
tanda -tanda kofaktor secara berurutan adalah :
$\begin{bmatrix} + & - & + & -\\ -& + & - &+ \\ + & - & + &- \\ -& + & - &+ \end{bmatrix}$

TERIMAKSIH

MATRIKS

holla squad..

Pada kesempatan kali ini kita akan membahasa materi matriks.

Sebelum kita masuk kemateri. Squad harus tau nih! kalau materi matriks itu dapat digunakan untuk menentukan presentase posisi bola ketika pertandingan berlangsung? KEREN kan? penasarankan apa itu matriks? yuk simak penjelasanya .

A. Pengertian

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan rill atau kompleks yang diatur dalam baris-baris dan kolom-kolom berbentuk persegi panjang.

Notasi matriks A = (a_ij)

artinya matriks A mempunyai elemen a_ij, dimana indeks i menyatakan baris ke-i dan indeks j menyatakan kolom ke-j dari elemen a_ij

visual

A= $\begin{bmatrix} a_{11} a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}a_{22}& ...&a_{2n} \\ a_{m1} a_{m2}& ... & a_{mn} \end{bmatrix}$

i= 1,2,3…n dan j=1,2,3…m

dimana :

Matriks dinyatakan dalam huruf besar A,B,P atau huruf yang lainnya.
Elemen atau anggota atau unsur menggunakan huruf kecil atau angka
Matriks A mempunyai baris sebanyak n dan kolom sebanyak m. Pada matriks A = (a_mxn), ordo matriks A adalah m×n
Matriks dengan m baris dan n kolom dikatakan ordo atau berdimensi m×n

ORDO MATRIKS

$A=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\rightarrow matriks \; A\; ber-ordo\; 2\times 2$

$A=\begin{bmatrix} 2 & 4 &2 \\ 0 & 1 & 5 \end{bmatrix}\rightarrow matriks\; A\; ber-ordo\; 2\times 3$

$A=\begin{bmatrix} 1 &4 \\ 3&1 \\ 2 & 1\\ 6& -1 \end{bmatrix}\rightarrow matriks\; A\; ber-ordo\: 4\times 2$

B. Operasi Matriks

operasi penjumlahan

Apabia A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil penjumlahan ( A+B) adalah matriks yang diperoleh dengan menambah bersama-sama entri yang seletak?bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
Matriks-matriks yang ordo/ukuranya berbeda tidak dapat ditambahkan.

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} &a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \; dan\; B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21}& b_{22} &b_{23} \\ b_{31_{}}&b_{32} & b_{33} \end{bmatrix}\rightarrow maka\; A+B=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{_{11}}&a_{12}+b_{12} &a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21}^{}&a_{22+} b_{22} &a_{23}+b_{23} \\ a_{31}+b_{31}& a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} \end{bmatrix}$

contoh

$A=\begin{bmatrix} 4 &2 \\ -1 & 3\\ 2 & -2 \end{bmatrix} dan\; B=\begin{bmatrix} 3 & -4\\ 2&1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$
$MAKA\; A=B=\begin{bmatrix} 4+3 & 2-4\\ -1+2&3+1 \\ 2+1 & -2-2 \end{bmatrix} \rightarrow A+B=\begin{bmatrix} 7 &-2 \\ 1 & 4\\ 3 & -4 \end{bmatrix}$

2. Operasi Pengurangan

Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukuranya sama, maka hasil pengurangan (A-B) adalah matriks yang diperoleh dnegan mengurangi bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangankan.

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ a_{21}& a_{22}&a_{23} \\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{bmatrix}dan\; B=\begin{bmatrix} b_{11}& b_{12} & b_{13}\\ b_{21}& b^{_{22}} &b_{23} \\ b_{31}& b_{32} &b_{33} \end{bmatrix}$

$maka\rightarrow A-B=\begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} &a_{12}-b_{12} &a_{13}-b_{13} \\ a_{21}-b_{21}& a_{22}-b_{22} &a_{23}-b_{23} \\ a_{31}-b_{31}& a_{32}-b_{32} & a_{33}-b_{33} \end{bmatrix}$

contoh :

$A=\begin{bmatrix} 3 &1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}dan\; B=\begin{bmatrix} 0 & -2\\ -1 & -3 \end{bmatrix}\; maka\; \rightarrow \; \; \; \; \; \; \; \; A-B=\begin{bmatrix} 3-0 & 1-(-2)\\ 4-(-1) & 2-(-3) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 3\\ 5 &5 \end{bmatrix}$
$3A-B=\begin{bmatrix} 3.3 & 3.1\\ 3.4& 3.2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0 & -2\\ -1 & -3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9-0 &3+2 \\ 12+1 & 6+3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9 &5 \\ 13& 9 \end{bmatrix}$

3. Perkalian Skalar/bilangan dengan matriks

Bila $\lambda$ suatu bilangan dan $a=(a_{ij})$ maka perkalian $\lambda$ .dengan $A=\lambda (a_{ij})=(\lambda a_{ij})$ atau dengan kata lain matriks $\lambda A$ diperoleh dari perklaian semua elemen A dengan $\lambda$ .

$B=\begin{bmatrix} 12 & 9 & 21\\ 9 & 0 & -3 \end{bmatrix},\; \lambda =\frac{1}{3}$
$Maka\; \lambda B=\begin{bmatrix} \frac{12}{3} &\frac{9}{3} & \frac{21}{3}\\ \frac{9}{3}& \frac{0}{3} & \frac{-3}{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 &3 & 7\\ 3& 0 &-1 \end{bmatrix}$

4. Perkalian Matriks dengan matriks

Bila berordo (pxq) dan matriks $B=(b_{ij})$ berordo (qxr), maka perklaian matriks A dan B ditulis A×B, adalah matriks C=A×B= $(c_{ij})$ berordo (pxr), dimana $cij=a_{11}b_{ij}+a_{12}b_{2j}+...+a_{1q}b_{qr}$

syarat agar matriks A dan B bisa dikalikan adalah banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.

Contoh :
$A=\begin{bmatrix} 3 & 2 &0 \\ 1 & 3 &1 \end{bmatrix}\; dan\; B=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 4\\ 2&1 &0 \\ 1 &0 & 1 \end{bmatrix}$
$Maka\; A(2\times 3)\times \; B(3\times 3)=C(2\times 3)$
$=\begin{bmatrix} 3&2 &0 \\ 1& 3 &1 \end{bmatrix}\; \begin{bmatrix} 3 &1 & 4\\ 2& 1 &0 \\ 1&0 & 1 \end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix} 3.3+2.2+0.1 &3.1+2.1+0.0 & 3.4+2.0+0.1\\ 1.3+3.2+1.1 & 1.1+3.1+1.0 & 1.4+3.0+1.1 \end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix} 13& 5 & 12\\ 10& 4 & 5 \end{bmatrix}$

5. Transpose Matriks

Bila matriks $A=(a_{ij})$ ,berordo (m×n), maka transpose dari matriks A ditulis $A^{t}$ adalah matriks yang diperoleh dari A dengan menukar semua baris matriks A menjadi kolom matriks $A^{t}$ . Maka matriks $A^{t}$ akan berordo n×m.

Transpose adalah proses penukaran tempat yang tadinya baris menjadi kolom atau sebaliknya .
contoh:
$A=\begin{bmatrix} 2 &2 & 0\\ 1&0 & -5 \end{bmatrix},\; A^{t}=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 2& 0\\ 0& -5 \end{bmatrix}$

C. Jenis- jenis Matriks

Untuk lebih mengetahui matriks dalam matematika lebih dalam, ada beberapa jenis matriks yang perlu kalian ketahui squad:

Matriks bujur sangkar, apabila suatu matriks memiliki jumlah baris dan kolom sama. atau berordo n×m

$A=\begin{bmatrix} 3 &1 \\ 2& 0 \end{bmatrix} \rightarrow \; bujur\; sangkar\; ordo \; 2$
$B=\begin{bmatrix} 4 & 1 & 0\\ 3& 1 &1 \\ 0& -1 &-1 \end{bmatrix}\rightarrow bujur\; sangkar\; ordo\; 3$

Martiks nol (0), adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.

contoh :

contoh
$A=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} ,\; B=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0& 0 \end{bmatrix},\; C=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0&0 & 0 & 0 &0 \end{bmatrix}$

Matriks yang terdiri atas hanya satu lajur/kolom dinamakan vektor lajur dan dilambangkan dengan huruf kecil

contoh
$u=\begin{bmatrix} u_{1}\\ u_{2}\\ .\\ .\\ .\\ u_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\ 1\\ .\\ .\\ .\\ 4\end{bmatrix}\: Maka \; ordonya\; n\times1$

Matriks yang terdiri atas hanya satu baris dinamakan vektor baris dan dilambangakan dengan huruf kecil beraksen misalnya:

Tanda aksen $u'=(u_{1}\; u_{2}...u_{n})= (2\; 1...4)$
tanda aksen menunjukkan juga bahwa vektor baris u’ adalah transposenya vektor lajur/kolom u.

Beberapa Jenis Matriks Khusus

Matriks nol , adalah matriks yang semua elemenya sama dengan nol.

contoh :
$A=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} ,\; B=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0& 0 \end{bmatrix},\; C=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0&0 & 0 & 0 &0 \end{bmatrix}$

ordonya A=2×2 , B=2×3, C=3×3

2. Matriks Diagonal D, adalah matriks bujur sangkar yang semua unsurnys nol kecuali satu atau lebih unsur diagonal utamanya.

A = (a_ij) dimana i ≠j=0

contoh
$A=\begin{bmatrix} {\color{Red} 2 }& 0 &0 \\ 0 & {\color{Red} 1} & 0\\ 0&0 &{\color{Red} 3} \end{bmatrix} angka \; {\color{Red} 2,1,3}\; itulah \; diagonal \;$

3. Matriks satuan (identitas), ditulis dengan I adalah matriks bujur sangkar yang elemen diagonalnya semua sama dengan 1, dan elemen yang lain sama dengan 0.

Contoh :
$I_{2}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix},\; I_{3}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}$

4. Matriks simetris , adalah matriks yang tranposenya sama dengan dirinya senidiri atau

Contoh ;
$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 2 &3 & 2\\ 3& 1 & \end{bmatrix}\; Maka\; A^{t}=\begin{bmatrix} 1& 2 & 3\\ 2&3 &1 \\ 3 &1 &4 \end{bmatrix}$

transpose diatas yaitu merubah baris menjadi kolom.

5. Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar yang semua elelmen diatas diagonal utama adalah 0.

Contoh :
$A=\begin{bmatrix} {\color{Red} 1} & 0 &0 \\ {\color{Yellow} 3} & {\color{Red} 2} &0 \\ {\color{Yellow} 1}&{\color{Yellow} 0 } & {\color{Red} 4} \end{bmatrix}$

Matriks segitiga bawah atau sebaliknya,

dimana pada contoh diatas dibawah diagonal ( angka berwarna merah ) terdapat nilai membentuk segitiga. diluar dari itu angkanya nol.

nah sudah paham kan materi matriks? yuk, kita simak latihan soal dibawah .

Matriks P dan Q sebagai berikut

$p=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3& 4 \end{bmatrix}, Q=\begin{bmatrix} a &x \\ b & y \end{bmatrix}$
tentukan matriks PQ
pembahasan: perkalian dua buah matriks
$PQ=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3&4 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} a &x \\ b & y \end{bmatrix}$
$PQ=\begin{bmatrix} a+2b &x+2y \\ 3a+4b & 3x+4y \end{bmatrix}$

2.Tentuka nilai a+b+x+y dari matriks-matriks berikut ini
dik: P=Q
$P=\bigl(\begin{smallmatrix} 9 &2x \\ y & 10 \end{smallmatrix}\bigr), Q=\bigl(\begin{smallmatrix} 3a &12 \\ 2&2b \end{smallmatrix}\bigr)$
Pembahasan: kesamaan dua buah matriks, terlihat bahwa
$\bigl(\begin{smallmatrix} 9 &2x \\ y & 10 \end{smallmatrix}\bigr), =\bigl(\begin{smallmatrix} 3a &12 \\ 2&2b \end{smallmatrix}\bigr)$

3a= 9→a=3
2b=10→b=5
2x=12→x=6
y=6
y=2

sehingga : a+b+x+y=3+5+6+2=16.

terimakasih.

APLIKASI TURUNAN * GARIS SINGGUNG * MAKSIMISASI ATAU MINIMISASI ( maximization atau minimization) A FREE OPTIMUM DAN A CONSTRAINED OPTIMUM

Holla squad,

kali ini aku mau bagiin materi tentang Aplikasi turunan. Nah, simak baik2 yah squad.

APLIKASI TURUNAN : GARIS SINGGUNG

oh ya squad, sebelum kita masuk kemateri inti yaitu cara mencari persamaan garis singgung kurva, kita cari tahu dulu mengenai gardien garis yang disimbolkan dgn m

note !

gradien

- - - - simbol⇒ m
      - untuk persamaan y= ax+c, → m= a
      - untuk persamaan ax+by= c,→m= – a/b
      - garis terdiri dari dua titik $(x_{1},y_{1}) dan (x_{2},y_{2})$ maka $m=(y_{2},y_{1})/(x_{2}x_{1})$

gradien dua garis lurus

∗ garis sejajar → $m_{1}= m_{2}$

∗ garis tegak lurus → $m_{1}.m_{2}= -1 atau m_{1}= -1/m_{2}$

BAHAN 1

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA

jika terdapat kurva y= f (x) disinggung oleh sebuah garis dititik $(x_{1},y_{1})$ → dapat dinyatakan $m={f}'(x_{1})$

sementara itu $x_{1} dan y_{1} memiliki hubungan y_{1}=f(x_{1})$

sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dgn $y - y_{1}= m (x-x_{1})$ .

so, intinya untuk mencari persamaan garis singgung suatu kurva. Jika, dik gradiennya m dan menyinggung dititik ( x1,y1) maka persamaanya → $y-y_{1}= m (x-x_{1})$

fb 1

+++ sedangkan jika dik 2 titik : misalnya $(x_{1},y_{1}) dan (x_{2},y_{2})$ maka→ untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut maka dapat menggunakan persamaan:

${\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

untuk lebih memahami materi ini perhatikan contoh dibawah ini ya squad :

FBY 1

BAHAN 2.

MAKSIMISASI ATAU MINIMISASI ( maximization atau minimization ):

A FREE OPTIMUM

1.Pengertian dan persyaratan Global maximum atau Global minimum, Relative maximum atau Relaive minimum :

√Dengan fungsi dari 1 ( satu ) independent variable y= f (x)

√Dependent variable dari fungsi merupakan the objective function yaitu objek dari maksimisasi ( mazimization ) atau minimisasi ( minimization ).

Mazimization atau minimization menetapkan angka atau bilangan dari independent variables sehingga diperolah dari angka atau nilai the objective function atau dependent tertinggi ( maximum) atau terendah (minimum ). Karena itu, independent variables juga disebut sebagai choice variables.

ilustrasi :

Extremums ( titik-titik ekstrim) fungsi y=f(x)
Titik E adalah a global ( absolute or free ) maximum, sedangkan titik G adalah local ( relative ) maximum
Titik F adalah a global minimum, sedangkan titik D adalah local minimum.

ILUST 1 kurva diatas: dimana extremum fungsi y=f(x)

baik global maximum atau minimum, maupun relative maximum atau minimum, disebut extremum seperti contoh diagram diatas
Titik extremum disebut stationary point. sedangkan angka atau nilai extremum fungsi atau dependent variable atau the objective function disebut a critical value atau statinary value. Selain itu, the slope dari the objective pada titik extermum adalah 0 (nol)
Global (absolute) maximum adalah titik atau angka tertinggi dari the objective function atau dependent variable.
Sedangkan, global (absolute) minimum merupakan titik atau angka terendah.
Relative (local) maximum adalah titik atau angka maximum di sekitar titik itu pada the objective function. Sedangkan, relative (local) minimum adalah titik atau angka minimum di sekitar titik itu pada the objective function.

Apabila kita tidak dapat menggunakan kurva diatas untuk menentukan nilai maksimum dan minimum kita dapat menggunakan persamaan dibawah ini :↓

PERSYARATAN-1

baiklah untuk lebih memahami materi diatas perhatikan contoh dibawah ini ya

contoh 2

√Maksimasi dan minimasi ( A free optimum dengan fungsi dari 2 ((dua) atau lebih independent variables¹ → fungsi z= f(x,y)

FOC⇓

SOC ⇓

CONTOH :

CONTOH 3

3. MAKSIMISASI ATAU MINIMISASI ( maximization atau minimization ) A CONSTRAINED OPTIMUM (dengan batasan tertentu )

pengertian a constrained optimization

pada bahan 2 diatas dimana, maksimasi (maximization) dan minimisasi (minimization) atau extremum tanpa batas tertentu ( a constraint) disebut a free optimum
pada bahan materi 3 ini tentang maximization dan minimization atau extremum dgn suatu batasan tertentu ( a constraint atau subject to), disebut a constraint optimization.

a constraint juga disebut, restraint, side relation, subsidiary condition yg berfungsi membatasi (subject to) domain dari fungsi dab berarti akhrinya terhadap range dari fungsi itu sendiri ( thee objective function )

oh ya kalian bisa meliat diagram perbedaan a free optimum da a constrained optimum pada C&W ( book 1) Ch.12 hal 347-349.

2.penyelesaian a constrained optimum dgn dua cara

The objective function :
A constraint or subject to :

perhatikan contoh dibawah :⇓

contoh 4.jpg

¤ penyelesaian dgn lagrange Multiplier method

Esensi dari the lagrange multiplier method adalah agar cara the free optimum dapat diaplikasikan pada the constrained optimum.

untuk itu perlu dibentuk the lagrangian function yang menyatukan the objective function dan the constrained function dgn the lagrange ( undermind ) multiplier $\lambda$ (the greek letter lambda)

nah gmn? udah taukan materi tentang aplikasi turunan semoga bermanfaat.thx

UNIVERSITAS ESA UNGGUL

Universitas Esa Unggul (UEU) adalah perguruan tinggi swasta di Kota Jakarta , Indonesia , yang berdiri pada tahun 1986 di bawah naungan Yayasan Pendidikan Kemala Mencerdaskan Bangsa. UEU adalah Perguruan Tinggi yang merintis dan mempelopori pendirian Akademi Rekam Medik (ARM) dan Program Sarjana Terapan Fisioterapi yang pertama di Indonesia.

Moto	Smart, Creative, and Entrepreneurial
Didirikan	1993 dibawah naungan Yayasan Kemala Pendidikan Bangsa
Jenis	Perguruan Tinggi Swasta
Rektor	Dr.Ir. Arief Kusuma AP, MBA.
Lokasi	Jl. Arjuna Utara No.9, Kebon Jeruk, Jakarta Barat,11510. Telp.021-5674223/021-5682510. Fax.021-5674268. Email:humas(at)esaunggul.ac.id dan pmb(at)esaunggul.ac.id
Situs web	http://www.esaunggul.ac.id

Biodata

NAMA : FEBI ARIANTI

NIM : 20180102256

PROGRAM STUDI : AKUNTANSI

FAKULTAS : EKONOMI

UNIVERSITAS ESA UNGGUL

QUOTE : Jika Anda telah belajar bagaimana untuk tidak setuju tanpa marah-marah, maka Anda telah menemukan rahasia membangun hubungan, apakah itu dalam bisnis, hubungan keluarga, atau dalam kehidupan itu sendiri.

Pos blog pertama

Ini adalah pos pertama Anda. Klik tautan Sunting untuk mengubah atau menghapusnya, atau mulai pos baru. Jika ingin, Anda dapat menggunakan pos ini untuk menjelaskan kepada pembaca mengenai alasan Anda memulai blog ini dan rencana Anda dengan blog ini. Jika Anda membutuhkan bantuan, bertanyalah kepada orang-orang yang ramah di forum dukungan.